Perchè è definito SSN - Sistema Sanitario Nazionale?

Ciao Andrea,
scrivo a te perché forse hai la possibilità di poter meglio farmi comprendere come funziona il Sistema Sanitario Nazionale.
Sostanzialmente, sono rimasta senza medico (temporaneo) che avevo alla Regione Lazio. La mia ASP originaria in effetti sarebbe quella di Messina, ma lavorando e studiando a Roma ho necessitato di avere qui un medico di famiglia.
Lo scorso anno non ho avuto problemi perché, essendomi iscritta regolarmente all’università e di conseguenza, avendo pagato le tasse, non mi è stata fatta alcuna obiezione.
Quest’anno invece, dato che dovrei laurearmi a marzo 2021, non ho effettuato, né pagato l’iscrizione per l’A. A. 2020/2021, perché marzo è ritenuto appello della sessione invernale dell’A. A. 2019/2020. Per questo motivo la sede di competenza per la scelta del medico, non mi riconosce come studente nemmeno fino a marzo 2021. A tutto ciò si aggiunge anche il fatto che ho un contratto di lavoro in una scuola statale, ma poiché è fino al 31 gennaio, la stessa afferma che non ho i presupposti per poter avere un medico di base qui a Roma perché da ottobre a dicembre non ci sono 3 mesi di lavoro per avere un medico di base.
Quindi o resto senza medico di base, oppure devo sceglierlo in Sicilia pur vivendo a Roma. Perché si chiama Sistema Sanitario NAZIONALE se poi alla fine non ho il diritto di avere un medico dove vivo e lavoro?
Ho anche chiesto di poter fare un’autocertificazione assumendomi ogni responsabilità civile e penale, visto che ho un regolare contratto di affitto, un lavoro in apparenza saltuario, ma che durerà fino a giugno sicuramente e un percorso di formazione universitario attivo, ma mi è stato detto che non posso.
A questo punto, ripropongo la mia domanda: perché è SSN, se l’aspetto burocratico non si muove in quest’ottica, ma è legato a un sistema territoriale chiuso? È coerente che io abbia un medico di base in Sicilia e vivo a Roma? Ma i famaci che io devo prendere per delle cure… se dovessi avere un qualsiasi problema, anche una semplice influenza, il certificato medico me lo fa il medico che abita in Sicilia? Oppure ha una logica la proposta che si ‘abbassino’ i criteri che non coerenti con alcuni sistemi di lavoro (ad esempio i contratti saltuari brevi delle scuole) ?
Grazie se prenderai in considerazione non tanto il mio problema, quanto la mia riflessione.